Kalkulator Akar Kuadrat
Masukkan angka positif, dan kalkulator akan mengembalikan akar kuadratnya dalam bentuk desimal hingga 15 digit, serta—jika memungkinkan—bentuk radikal sederhana yang tepat: misalnya, √72 berubah menjadi 6√2, dan √200 berubah menjadi 10√2. Untuk bilangan kuadrat sempurna, hasilnya adalah bilangan bulat; untuk bilangan negatif, hasilnya dinyatakan dalam notasi i dengan unit imajiner dihilangkan.
Cara perhitungan akar
-
1
Masukkan radikand
Angka yang terletak di bawah radikal: positif, negatif, atau nol.
-
2
Formulir desimal
Dihitung menggunakan instruksi akar kuadrat IEEE 754 — akurat hingga 15 digit signifikan.
-
3
Bentuk radikal sederhana
Pisahkan faktor-faktor pembagi berbentuk kuadrat sempurna dari √72: √72 = √(36 × 2) = 6√2.
-
4
Tampilkan cara kerjanya
Faktorisasi langkah demi langkah ditampilkan agar Anda dapat mereproduksinya secara manual.
Kuadrat sempurna yang perlu diketahui
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
Mempermudah persamaan kuadrat tak sempurna
Kuncinya adalah menemukan faktor terbesar dari bilangan yang merupakan kuadrat sempurna.
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
Jika hasilnya masih mengandung faktor yang bukan kuadrat, ulangi proses berikut: √180 = √(36 × 5) = 6√5, bukan √(4 × 45) = 2√45 (yang belum sepenuhnya disederhanakan).
Nilai desimal umum
- √2 ≈ 1,41421 (menurut Pythagoras dalam persegi satuan)
- √3 ≈ 1,73205 (panjang diagonal suatu kubus)
- √5 ≈ 2,23607 (terdapat dalam rasio emas (1 + √5)/2)
- √7 ≈ 2.64575
- √π ≈ 1,77245 (digunakan dalam statistik dan integral Gaussian)
- √10 ≈ 3.16228
- √(1000) ≈ 31,6228 (setiap peningkatan sebesar 10 kali membuat nilai √ meningkat sekitar 3,16 kali)
Angka negatif dan bilangan imajiner
Akar kuadrat dari bilangan negatif tidak didefinisikan dalam bilangan real. Pada bilangan kompleks, √(−x) = i√x untuk x positif; sehingga √(−4) = 2i. Kalkulator menampilkan bentuk imajiner, bukan nilai desimal, untuk masukan negatif.
Akar kuadrat versus akar pangkat n
Kalkulator ini dapat menghitung akar kuadrat (akar kedua). Untuk akar kubik, akar keempat, dan sebagainya, gunakan alat akar ke-n umum. Identitas penting:
- √(ab) = √a × √b (hanya jika a dan b tidak negatif)
- √(a/b) = √a / √b (hanya jika b > 0)
- (√a)² = a (hanya jika a ≥ 0)
Penunjuk Sejarah
Simbol radikal √ berkembang dari huruf r (yang merujuk pada radix; kata “root” dalam bahasa Latin) pada abad ke-16. Garis horizontal (vinculum) ditambahkan pada abad ke-17 untuk membatasi bagian yang terletak di bawah akar tersebut.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Setiap bilangan positif memiliki dua akar kuadrat, yaitu +x dan −x. Akar utama (yang bernilai tidak negatif)lah yang biasanya dimaksud dengan √. Persamaan kuadrat menggunakan kedua akar tersebut.
Secara konvensional, nilai tersebut hanya adalah 5. √ mengembalikan akar utama (yang bernilai non-negatif). Saat menyelesaikan persamaan x² = 25, baik 5 maupun −5 memenuhi persamaan tersebut; oleh karena itu, hasilnya adalah x = ±5.
Metode historis meliputi algoritma pembagian panjang digit per digit, metode Newton (iteratif: x_new = (x + a/x)/2), atau pendekatan faktorisasi dan penyederhanaan untuk menentukan akar dari bilangan yang kaya akan kuadrat sempurna. Metode Newton konvergen dengan cepat; hanya dalam tiga iterasi, akurasi hingga 10 digit telah dicapai untuk sebagian besar kasus masukan.
Hal ini dibuktikan oleh orang Yunani melalui metode kontradiksi: jika √2 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan terendah sebagai p/q, maka 2q² = p², sehingga p merupakan bilangan genap; dengan demikian p = 2k, dan 2q² = 4k², yang berarti q² juga genap—hal ini bertentangan dengan lowest terms. Oleh karena itu, √2 tidak dapat berupa pecahan; nilai tersebut bersifat irasional.