Kalkulator Integral
Masukkan suatu ekspresi ke dalam x (atau variabel apa pun), dan kalkulator akan mengembalikan turunan simbolis atau nilai numerik untuk interval tertentu. Alat ini mendukung fungsi polinomial, trigonometris, eksponensial, logaritmik, dan rasional, serta metode substitusi umum dan integrasi oleh bagian—dengan langkah-langkahnya ditampilkan jika Anda perlu memverifikasi hasil kerja Anda.
Cara mengevaluasi suatu integral
-
1
Masukkan integrand
Tulis fungsi dalam bentuk seperti `x^2 + 3*sin(x)` atau `1 / (x^2 + 1)`. Perkalian implisit yang menggunakan spasi juga diterima.
-
2
Pilih definitif atau tidak definitif
Untuk suatu integral definit, tentukan batas bawah dan atasnya (dengan nilai `inf` dan `-inf` sebagai batas tersebut).
-
3
Itung
Alat ini terlebih dahulu mencoba solusi simbolis; jika gagal, maka beralih ke metode kuadratur numerik.
-
4
Baca langkah-langkahnya
Ekspansi langkah demi langkah yang bersifat opsional menunjukkan proses substitusi, integrasi berdasarkan bagian, atau dekomposisi fraksi parsial.
Antiderivatif Umum
| f(x) | Integral |
|---|---|
| x^n (n != -1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| sinus(x) | -cos(x) + C |
| kos(x) | sin(x) + C |
| sec²(x) | tan(x) + C |
| 1 / (x^2 + 1) | arctan (x) + C |
| 1 / sqrt (1 - x^2) | arcsin (x) + C |
Teknik-teknik yang dicoba oleh alat tersebut, dalam urutan
- Aturan dasar — pangkat, eksponensial, trigonometri.
- Substitusi (u-sub) — temukan fungsi dan turunannya dalam integrand.
- Integrasi berdasarkan komponen —
∫u dv = uv - ∫v du, untuk produk dengan jenis fungsi yang berbeda. - Fraksi parsial — untuk integrand rasional
P(x)/Q(x)dandeg(P) < deg(Q). - Identitas trigonometris — untuk hasil kali sinus dan kosinus.
- Kuadratur numerik — metode Gauss-Kronrod untuk integral definitif ketika tidak tersedia bentuk tertutup.
Notasi integral definitif
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
Teorema dasar menyatakan: jika F merupakan antiderivatif dari f, maka integral definitif dari a hingga b sama dengan F(b) - F(a). Alat tersebut terlebih dahulu menghitung nilai F, kemudian mengevaluasinya pada batas-batasnya.
Kesalahan Umum
- Menghilangkan notasi
+ C. Setiap integral tak terhingga memiliki konstanta integrasi; alat tersebut mencetak nilai konstanta tersebut, sedangkan siswa yang menulis secara manual sering kali melupakannya. – Batasan yang salah untuk integral tidak tepat:∫_0^∞ e^(-x) dx = 1, tetapi juga∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π). Selalu periksa apakah konvergen atau tidak. – Gunakan arctan sebagai pengganti arctanh ketika penyebutnya berbentuk(x-a)(x-b)yang memiliki akar nyata; dalam hal ini, yang dimaksud adalah nilai logaritma, bukan arctan. – Melupakan aturan rantai dalam substitusi dengan variabel u. Jikau = 3x, maka yang dimaksud adalahdu = 3 dx, bukandu = dx.
Ketika tidak ada bentuk tertutup
Beberapa integral sama sekali tidak memiliki antiderivatif elementer—e^(-x^2), sin(x)/x, dan 1/ln(x). Namun, pada interval tertentu, integral tersebut tetap memiliki nilai numerik yang dihitung oleh alat dengan presisi tinggi.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Untuk integral definit, alat ini kembali menggunakan metode kuadratur numerik (Gauss-Kronrod) dan mengembalikan nilai beserta estimasi kesalahannya. Untuk integral indefinit yang tidak memiliki antiderivatif elementer, alat ini akan memberikan informasi tersebut serta menawarkan ekspansi deret sebagai alternatif.
Ya. Kelilingkan ekspresi tersebut untuk memperjelas arti variabelnya, misalnya integrate(t^2, t). Variabel berupa satu huruf saja juga dapat digunakan.
Ya. Aktifkan atau matikan opsi “tampilkan langkah-langkah”, dan alat akan mencetak hasil substitusi, pemilihan komponen, atau dekomposisi fraksi parsial yang digunakan, satu baris per baris.
Ya, namun Anda mungkin perlu membagi interval pada titik lintasan nol agar hasilnya lebih jelas. Alat ini mengolah data \|x\| dengan mendeteksi tanda-tandanya secara otomatis bila memungkinkan.