Kalkulator Gram-Schmidt

Diberikan vektor v_1, v_2, …, v_n, proses ini membentuk vektor ortogonal u_1, u_2, … satu per satu:

• u_1 = v_1
• u_k = v_k - c_k1 u_1 - c_k2 u_2 - ... - c_k,k-1 u_k-1
• setiap koefisien proyeksi adalah c_kj = (v_k · u_j) / (u_j · u_j)

Mengurangkan proyeksi menghilangkan dari v_k semua yang searah dengan u_j sebelumnya, sehingga u_k tegak lurus terhadap semuanya. Membagi setiap u_k dengan panjangnya, |u_k| = √(u_k · u_k), menghasilkan vektor ortonormal e_k yang panjangnya 1.

Contoh soal

Ambil v_1 = (1, 1, 0), v_2 = (1, 0, 1), dan v_3 = (0, 1, 1).

Vektor ortonormalnya adalah e_1 ≈ (0,7071; 0,7071; 0), e_2 ≈ (0,4082; -0,4082; 0,8165), dan e_3 ≈ (-0,5774; 0,5774; 0,5774).

Kebergantungan linear

Jika v_k sudah berada dalam rentang vektor-vektor sebelumnya, pengurangan proyeksi menyisakan vektor nol. Kalkulator mendeteksinya secara eksak, karena setiap bilangan diproses sebagai pecahan dan tidak ada toleransi yang dipakai. Vektor itu ditandai bergantung dan dilewati, lalu vektor berikutnya diortogonalkan terhadap vektor bebas yang sudah ditemukan. Jika jumlah vektor melebihi dimensi (misalnya tiga vektor di bidang), setidaknya satu vektor pasti bergantung.

Cakupan kalkulator ini

• 2 sampai 4 vektor dengan 2 sampai 4 komponen, semuanya sama panjang, dengan nilai mutlak hingga 1.000.000 dan maksimal empat angka desimal.
• Vektor ortogonal ditampilkan sebagai desimal dan sebagai pecahan eksak bila pecahannya pendek. Vektor satuan ditampilkan sebagai desimal karena memerlukan akar kuadrat.
• Kalkulator memakai hasil kali titik standar pada bilangan real. Vektor kompleks, hasil kali dalam lain, dan ukuran yang lebih besar tidak didukung.