Kalkulator Regresi Kuadratik

Apa yang dihitung oleh regresi kuadratik

Model kuadratik berbentuk ŷ = a*x^2 + b*x + c. Di sini, ŷ adalah nilai y dari kurva hasil pencocokan. Koefisien a menentukan kelengkungan, b adalah koefisien linear, dan c adalah nilai kurva ketika x sama dengan nol. Kemiringan pada nilai x tertentu adalah 2*a*x + b, sehingga b saja bukan kemiringan yang tetap. Jika a bernilai nol, model yang dihasilkan berupa garis lurus. Jika nilai x berjauhan dari nol, persamaan yang ditampilkan dapat menggunakan bentuk x yang dipusatkan dan diskalakan untuk menjaga ketepatan prediksi; koefisien yang ditampilkan dalam skala x asli adalah nilai perkiraan.

Kalkulator memilih koefisien dengan metode kuadrat terkecil biasa, yaitu meminimalkan jumlah kuadrat selisih vertikal antara nilai y teramati dan nilai y pada kurva. Kurva kuadratik tetap linear terhadap ketiga koefisien yang belum diketahui. NIST menjelaskan metode kuadrat terkecil linear untuk model polinomial.

Untuk setiap baris, residu = y teramati - y hasil pencocokan. Akar galat kuadrat rata-rata adalah RMSE = sqrt(sum(residu^2)/n), dengan n sebagai jumlah baris. Satuan RMSE sama dengan satuan y. Koefisien determinasi adalah R² = 1 - sum(residu^2)/sum((y - rata-rata(y))^2). Jika semua nilai y teramati sama, penyebutnya nol dan R² tidak terdefinisi. RMSE di sini dibagi dengan n; ini berbeda dari galat baku residu, yang dibagi dengan derajat kebebasan residu.

Contoh perhitungan

Masukkan tiga pasangan (0, 1), (1, 4), dan (2, 9). Kurva yang dihasilkan adalah ŷ = x^2 + 2*x + 1. Ketika x = 0, persamaan memberikan c = 1. Dua pasangan lainnya menghasilkan a + b + 1 = 4 dan 4*a + 2*b + 1 = 9, sehingga a = 1 dan b = 2. Ketiga residu bernilai nol, RMSE nol, dan R² satu. Tiga titik dengan nilai x berbeda dapat menentukan satu kurva kuadratik secara tepat, tetapi hal itu belum membuktikan bahwa kurva akan memprediksi pengamatan baru dengan baik.

Pada x = 1,5, persamaan tersebut memprediksi 6,25. Pada x = 3, hasil prediksinya 16, tetapi x ini berada di luar rentang data yang dimasukkan dan merupakan ekstrapolasi. Nilai kurva kuadratik dapat naik atau turun dengan cepat di luar rentang pengukuran.

Untuk melihat hasil dengan galat yang tidak nol, perhatikan lima pengamatan berikut:

Residu tersebut memenuhi persamaan koefisien metode kuadrat terkecil. Jumlah kuadratnya 0,70, sehingga RMSE = sqrt(0,70/5), sekitar 0,3742. Jumlah kuadrat penyimpangan dari rata-rata y = 3 adalah 14,70, sehingga R² = 1 - 0,70/14,70, sekitar 0,9524.

Menyiapkan dan menafsirkan data

Masukkan satu pasangan pada setiap baris yang tidak kosong. Pada bahasa yang menggunakan titik sebagai tanda desimal, x dan y dapat dipisahkan dengan koma, titik koma, tab, atau spasi. Pada bahasa yang menggunakan koma sebagai tanda desimal, pisahkan dengan titik koma, tab, atau spasi; misalnya 1,5; 2,25. Jangan gunakan pemisah ribuan. Baris pertama yang berisi nama kolom hanya diterima jika kedua kolom disebut dengan jelas. Setiap baris lain yang tidak kosong harus berisi dua angka yang valid; baris yang salah format akan ditolak, bukan diabaikan diam-diam.

Diperlukan sedikitnya tiga nilai x yang berbeda agar kurva kuadratik yang dihasilkan unik. Pengukuran berulang pada nilai x yang sama diperbolehkan dan dihitung sebagai pengamatan terpisah. Nilai mutlak setiap x dan y yang dimasukkan, serta x untuk prediksi opsional, paling besar 10^12. Periksa kurva dan residu bersama R² dan RMSE. R² yang tinggi tidak membuktikan hubungan sebab akibat atau menjamin prediksi yang berguna, dan tidak ada ambang universal untuk menyatakan kecocokan yang baik. NIST membahas analisis residu sebagai bagian dari validasi model.

Kalkulator mencocokkan pasangan data di tab browser ini. Data hasil pencocokan disimpan dalam penyimpanan sesi saat Anda berpindah di antara tiga langkah dan dihapus saat Anda memilih Mulai lagi. Tautan halaman tidak memuat pasangan data. Prediksi opsional berupa estimasi titik dari persamaan hasil pencocokan; prediksi ini tidak menyertakan interval ketidakpastian.