Softonic

Kalkulator Nilai Eigen

Langkah 1 / 4 Matriks A
Baris pertama

Gunakan kalkulator nilai eigen ini untuk menyelesaikan matriks real 2×2 dari empat entrinya. Alat ini menghitung jejak, determinan, polinomial karakteristik, diskriminan, dan nilai eigen, lalu menampilkan vektor eigen real ketika kedua nilai eigen berbeda dan bernilai real. Cocok untuk tugas aljabar linear, pemeriksaan cepat pada model teknik, dan pengecekan sebelum Anda mendiagonalkan matriks kecil secara manual.

Cara mencari nilai eigen

  1. 1

    Masukkan entri matriks

    Isi a, b, c, dan d untuk matriks A = [[a, b], [c, d]]. Nilai desimal dan negatif diterima.

  2. 2

    Susun persamaan karakteristik

    Kalkulator memakai jejak T = a + d dan determinan D = ad - bc untuk membentuk λ² - Tλ + D = 0.

  3. 3

    Klasifikasikan akarnya

    Diskriminan T² - 4D menentukan apakah nilai eigennya dua bilangan real, satu akar kembar, atau sepasang bilangan kompleks sekawan.

Rumus untuk matriks 2×2

Untuk A = [[a, b], [c, d]], nilai eigen adalah akar-akar dari:

det(A - λI) = 0

Menjabarkan determinan tersebut menghasilkan:

λ² - Tλ + D = 0

Dengan:

  • T = a + d adalah jejak (trace).
  • D = ad - bc adalah determinan.
  • Δ = T² - 4D adalah diskriminan.

Maka:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

Contoh perhitungan

Untuk A = [[2, 1], [1, 2]], jejaknya T = 2 + 2 = 4 dan determinannya D = 2·2 - 1·1 = 3. Polinomial karakteristiknya:

λ² - 4λ + 3 = 0

Diskriminannya Δ = 4² - 4·3 = 4, sehingga nilai eigennya adalah:

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

Untuk nilai eigen 3, salah satu vektor eigennya adalah [1, 1]. Untuk nilai eigen 1, salah satu vektor eigennya adalah [1, -1]. Setiap kelipatan skalar tak nol dari vektor tersebut juga merupakan vektor eigen yang sah.

Arti diskriminan

Diskriminan Δ Kasus nilai eigen Yang perlu Anda harapkan
Δ > 0 Dua nilai eigen real Dua akar real yang berbeda dan, untuk matriks 2×2, dua vektor eigen bebas linear jika matriks dapat didiagonalkan atas bilangan real.
Δ = 0 Nilai eigen kembar Satu akar kembar. Ruang eigennya bisa berdimensi satu atau dua, jadi periksa vektor eigen secara terpisah bila diagonalisasi itu penting.
Δ < 0 Sepasang kompleks sekawan Tidak ada nilai eigen real. Kedua akar memiliki bagian real yang sama dan bagian imajiner yang berlawanan tanda.

Kesalahan yang sering terjadi

  • Menyusun A - λI secara keliru. Hanya entri diagonal yang berubah: a - λ dan d - λ.
  • Melupakan tanda pada determinan. Untuk matriks 2×2, D = ad - bc, bukan ad + bc.
  • Menganggap nilai eigen kembar pasti dapat didiagonalkan. Akar kembar tetap membutuhkan vektor eigen bebas linear yang cukup.
  • Membulatkan terlalu dini. Pertahankan jejak, determinan, dan diskriminan tetap eksak selama mungkin, apalagi jika ada desimal.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Alat ini berfokus pada matriks real 2×2. Dengan begitu hasilnya tetap transparan: setiap nilai berasal dari jejak, determinan, dan polinomial karakteristik berderajat dua.

Bisa. Jika diskriminan T² - 4D bernilai negatif, nilai eigennya membentuk sepasang bilangan kompleks sekawan. Matriks rotasi seperti [[0, -1], [1, 0]] adalah contoh bakunya.

Kalkulator menampilkan vektor eigen untuk nilai eigen real yang berbeda, karena di situ satu vektor real sederhana bisa ditampilkan untuk tiap akar. Kasus kembar dan kompleks butuh konteks tambahan, jadi alat ini berfokus pada nilai eigen dan klasifikasinya.

Tidak ada unggahan berkas. Entri matriks diolah oleh komponen halaman untuk menghasilkan jejak, determinan, polinomial, dan nilai eigen.

Alat Terkait

Kalkulator Persentase Lemak Tubuh

Perkirakan lemak tubuh dari ukuran leher, pinggang, pinggul dan tinggi badan. Memakai rumus pita ukur klasik US Navy untuk memantau tren, bukan diagnosis.

Kalkulator Pembayaran HELOC

Hitung pembayaran bulanan HELOC pada masa penarikan dan masa pelunasan berdasarkan saldo, APR, dan tenor.

Kalkulator BMI

Hitung indeks massa tubuh dari tinggi dan berat badan. Menampilkan kategori WHO, rentang berat sehat, dan batasan BMI.

Kalkulator usia

Hitung usia tepat dalam tahun, bulan, dan hari dari tanggal lahir, plus total hari, jam, dan hitung mundur ulang tahun berikutnya.

Kalkulator investasi

Perkirakan nilai investasi masa depan dari saldo awal, setoran bulanan, imbal hasil tahunan, dan jangka waktu, dengan catatan inflasi serta biaya.

Kalkulator Pembagian Bersusun

Bagi bilangan bulat dengan langkah pembagian bersusun. Dapatkan hasil bagi, sisa, penjabaran desimal, dan tabel angka demi angka untuk memeriksa tugas sekolah.