Softonic

Kalkulator Invers Matriks

Langkah 1 / 2 Matriks persegi
Hasil

Invers dari matriks persegi A adalah matriks A⁻¹ sedemikian rupa sehingga A · A⁻¹ = I. Masukkan matriks persegi berukuran hingga 10×10; kalkulator akan menambahkan elemen identitas ke dalamnya, menjalankan metode eliminasi Gauss-Jordan dengan pivot parsial, lalu mengembalikan A⁻¹ beserta seluruh operasi baris yang dilakukan sepanjang proses. Jika matriks bersifat singular (det = 0), alat akan menghentikan proses dan memberitahu Anda di mana reduksi gagal.

Cara menghitung inversnya

  1. 1

    Masukkan matriks persegi

    Jumlah baris dan kolom yang sama, mulai dari 2×2 hingga 10×10.

  2. 2

    Alat memeriksa keterbalikan

    Menghitung det(A) terlebih dahulu. Jika hasilnya nol, maka matriks tersebut bersifat singular dan tidak memiliki invers.

  3. 3

    Perkuat dengan identitas

    Membentuk blok [A | I] yang siap untuk metode Gauss-Jordan.

  4. 4

    Reduksi baris ke [I | A⁻¹]

    Setiap operasi baris dicatat; blok di sebelah kanan menjadi inversnya.

  5. 5

    Verifikasi

    Alat ini mengalikan A · A⁻¹ secara balik dan menampilkan hasilnya, yang seharusnya merupakan elemen identitas dalam presisi numerik.

Kapan invers ada

Matriks persegi A dapat dibalikkan jika dan hanya jika det(A) ≠ 0. Kondisi yang setara:

  • Kolom-kolom bersifat bebas linier.
  • Baris-baris bersifat bebas linier.
  • Ruang nol bersifat trivial (hanya terdiri dari vektor nol).
  • A memiliki peringkat penuh (peringkat = n).
  • Sistem linear Ax = b memiliki solusi unik untuk setiap nilai b.

Jalur pintas 2×2

Untuk A = [[a, b], [c, d]]:

A^−1 = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]

Tukar elemen pada garis diagonal, balik nilai elemen di luar diagonal, lalu bagi hasilnya dengan determinan.

Gauss-Jordan dalam satu gambar

Awal: [A | I].

Akhir: [I | A^−1].

Operasi baris yang mengubah A menjadi I, bila diterapkan pada I, akan mengubahnya menjadi A⁻¹.

Mengapa pivot parsial penting

Tanpa fitur ini, algoritma akan memilih elemen diagonal pada baris saat ini sebagai pivot. Jika elemen tersebut bernilai nol atau sangat kecil, proses pembagian akan meledak. Pivot parsial menukar baris dengan nilai pivot absolut terbesar, sehingga perhitungan menjadi stabil secara numerik.

Memeriksa hasil Anda

Kalikan A dengan A⁻¹; Anda seharusnya memperoleh matriks identitas (dengan kesalahan numerik yang sangat kecil). Jika terdapat entri di diagonal yang jauh dari angka 1 atau di posisi lain yang tidak sama dengan 0, maka matriks tersebut bersifat hampir singular dan invers numeriknya tidak dapat diandalkan, meskipun secara teori invers tersebut eksis, hasil perhitungannya dapat salah hingga beberapa digit.

Contoh soal 2×2

A = [[4, 7], [2, 6]]

  • det(A) = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10 (tidak nol dan dapat dibalikkan).
  • Tukar dan balik tanda: [[6, −7], [−2, 4]].
  • Bagi dengan 10: A^−1 = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]].
  • Verifikasi: A · A^−1 = [[1, 0], [0, 1]]. ✓

Tips

  • Gunakan aritmetika eksak untuk matriks kecil (2×2, 3×3) agar menghasilkan fraksi yang akurat. Nilai tipe float dapat menyebabkan pembulatan bahkan pada masukan bilangan bulat sederhana.
  • Jangan melakukan inversi untuk menyelesaikan persamaan Ax = b dalam kode produksi. Gunakan metode reduksi baris pada sistem augmentasi [A | b]; proses penyelesaiannya lebih cepat dan lebih stabil dibandingkan dengan cara melakukan inversi terlebih dahulu kemudian dikalikan.
  • Bilangan kondisi: Jika nilai cond(A) sangat besar (misalnya >10^10 dalam presisi ganda), invers numeriknya tidak dapat dipercaya meskipun secara teori ada.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Istilah “singular” berarti determinan bernilai nol, yang dapat terjadi ketika kolom-kolom saling bergantung secara linier, yakni ketika salah satu kolom merupakan kelipatan dari kolom lainnya, atau salah satu kolom merupakan jumlah dari dua kolom lainnya. Nilai elemen yang tidak nol tidak menjamin kemandirian antar kolom.

Tidak. Matriks non-skuadrat memiliki inversi semu (Moore-Penrose), yang didefinisikan untuk setiap matriks, tetapi bukan inversi sejati. Gunakan alat khusus untuk menghitung inversi semu jika diperlukan.

Untuk masukan bilangan bulat hingga ukuran yang wajar, ya, hasilnya tetap rasional. Untuk nilai floating-point atau nilai irasional, kalkulator beralih ke presisi ganda.

Bisa ditampilkan dengan ukuran maksimal 10×10 secara nyaman di peramban. Untuk ukuran yang lebih besar, gunakan pustaka numerik bersama BLAS.

Pembulatan dalam aritmetika presisi ganda. Nilai entri dapat berupa 1.000000000000002 alih-alih 1. Untuk matriks yang tidak seimbang, penyimpangan akibat pembulatan bisa lebih besar. Jika Anda memerlukan invers eksak, gunakan mode eksak-rasional untuk matriks kecil.

Alat Terkait

Kalkulator Durasi Waktu

Hitung durasi antara dua jam dalam HH:MM, jam desimal, menit, dan detik.

Kalkulator Panjang Sabuk

Hitung panjang garis pitch sabuk terbuka dari dua diameter puli dan jarak antarpusat dengan geometri eksak serta pendekatan standar.

Konverter Dari Hari ke Bulan

Konversikan sejumlah hari menjadi bulan, minggu, dan tahun dengan menggunakan panjang bulan rata-rata sebesar 30,437 hari, siap untuk perencanaan dan perkiraan.

Kalkulator usia

Hitung usia tepat dalam tahun, bulan, dan hari dari tanggal lahir, plus total hari, jam, dan hitung mundur ulang tahun berikutnya.

Kalkulator Ukuran Gorden

Hitung lebar gorden, tingkat kerutan, jumlah panel, dan panjang jadi dari ukuran rel, batang, atau bukaan jendela serta cek kemasan gorden siap pakai.

Kalkulator RAID

Bandingkan kapasitas RAID 0, 1, 5, 6, 10, 50, dan 60 dengan ukuran disk campuran, span paritas, hot spare, TB versus TiB, serta biaya rata-rata disk.

Alat ini tersedia dalam bahasa lain