Kalkulator Determinan Matriks

Apa yang diberitahukan oleh determinan

• Bukan nol: matriks dapat dibalik; kolom-kolomnya bebas linear; dan mendefinisikan pemetaan linear bijektif.
• Nol: matriks bersifat singular; kolom-kolomnya bergantung linear; pemetaan meruntuhkan setidaknya satu dimensi.
• Tanda: nilai positif berarti pemetaan linear mempertahankan orientasi; nilai negatif berarti pemetaan membalik orientasi (seperti bayangan cermin).
• Besaran: |det(A)| adalah faktor yang dipakai pemetaan untuk menskalakan volume berdimensi n. Matriks 2×2 dengan det = 3 memperbesar luas 3 kali; det = −2 memperbesar luas 2 kali dan membalikkannya.

Kasus kecil: kerjakan secara manual

2×2:

det([[a, b], [c, d]]) = a·d − b·c

3×3 (aturan Sarrus):

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) untuk [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]].

Kasus yang lebih besar: gunakan LU

Menghitung determinan 4×4 secara manual melalui ekspansi kofaktor memerlukan 4! = 24 perkalian. Matriks 6×6 memerlukan 720. Dekomposisi LU mengurangi pekerjaan menjadi O(n³): faktorkan A = LU, dengan L matriks segitiga bawah beserta angka 1 pada diagonalnya dan U matriks segitiga atas; maka det(A) = det(L)·det(U) = ∏ u_ii.

Sifat-sifat yang perlu diketahui

• det(AB) = det(A)·det(B).
• det(A^T) = det(A).
• det(A^−1) = 1 / det(A).
• det(kA) = k^n · det(A) untuk matriks n×n.
• Menukar dua baris membalik tanda determinan.
• Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain tidak mengubah determinan.
• Jika ada baris (atau kolom) yang seluruhnya nol, determinannya nol.

Kesalahan umum

• Melupakan pola tanda dalam ekspansi kofaktor: + − + − + − .... Kofaktor (i,j) adalah (−1)^(i+j) dikali minornya.
• Menguraikan sepanjang baris dengan entri bukan nol padahal ada baris yang berisi tiga nol. Pilih baris atau kolom dengan nol terbanyak agar perhitungan lebih mudah.
• Mengira det(A+B) = det(A) + det(B). Ini tidak benar. Determinan bersifat perkalian, bukan penjumlahan.