Softonic

Kalkulator Aproksimasi Linear

Langkah 1 / 3 Aproksimasi linear

Gunakan x sebagai variabel dan ^ untuk pangkat. Tulis argumen fungsi di dalam tanda kurung. Perkalian boleh ditulis sebagai 2x, 3(x + 1), atau 2*x. Fungsi dan konstanta yang dapat Anda gunakan: sqrt, cbrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, asin, acos, atan, abs, pi, e

Contoh

Berikutnya: titik a

Kalkulator aproksimasi linear ini mencari linearisasi fungsi f di titik a, yaitu garis singgung L(x) = f(a) + f’(a)(x - a), lalu memakainya untuk menaksir f(x) pada x yang dekat dengan a. Di buku kalkulus, cara ini juga disebut hampiran linear. Ketik fungsinya, titik a, dan x jika Anda menginginkan taksiran. Anda mendapatkan L(x) lengkap dengan angkanya dan dalam bentuk y = mx + c, nilai f(a) dan f’(a), taksiran linear di samping nilai sebenarnya, galat mutlak dan galat persentase, serta penyelesaian langkah demi langkah seperti yang diminta dalam mata kuliah kalkulus.

Cara mencari aproksimasi linear

  1. 1

    Ketik fungsi f(x)

    Gunakan x sebagai variabel, misalnya sqrt(x), x^3 - 2x, ln(x), sin(x), e^x, atau 1/x. Pangkat ditulis dengan ^ dan argumen fungsi ditulis di dalam tanda kurung.

  2. 2

    Masukkan titik a

    Pilih titik tempat f mudah dihitung, misalnya 4 untuk sqrt(x) atau pi/6 untuk sin(x). Kalkulator lebih dulu menampilkan fungsi Anda sebagaimana dibacanya, sehingga kekeliruan seperti e^2x untuk e^(2x) ketahuan sebelum hasilnya muncul.

  3. 3

    Tambahkan x yang ingin ditaksir (opsional)

    Pilih x di dekat a, misalnya 4,1. Kosongkan jika Anda hanya memerlukan linearisasinya.

  4. 4

    Baca L(x), taksiran, dan galatnya

    Hasilnya memuat L(x) dalam bentuk f(a) + f'(a)(x - a) dan dalam bentuk y = mx + c, f(a), f'(a), taksiran L(x), nilai f(x) yang sebenarnya, kedua galat, dan setiap langkah penyelesaiannya.

Rumus linearisasi dan kapan rumus ini bisa diandalkan

Linearisasi fungsi f di a adalah garis yang melalui titik (a, f(a)) dengan gradien yang sama dengan gradien kurva di titik itu:

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

Di dekat a, kurva dan garis singgungnya hampir berimpit, sehingga L(x) menjadi taksiran cepat untuk f(x). Inilah aproksimasi garis singgung, yang juga disebut aproksimasi linear, hampiran linear, atau polinom Taylor orde pertama.

Contoh soal: taksir sqrt(4,1)

  1. Pilih f(x) = sqrt(x) dan a = 4, titik terdekat yang akar kuadratnya mudah dihitung.
  2. Hitung nilai fungsi: f(4) = 2.
  3. Turunkan: f'(x) = 1/(2sqrt(x)), sehingga f'(4) = 1/4 = 0,25.
  4. Susun garisnya: L(x) = 2 + 0,25(x - 4), yaitu L(x) = 0,25x + 1 dalam bentuk y = mx + c.
  5. Taksir: L(4,1) = 2 + 0,25(0,1) = 2,025.
  6. Bandingkan: nilai sebenarnya adalah sqrt(4,1) = 2,024846, sehingga galat mutlaknya 0,000154 dan galat persentasenya sekitar 0,0076%.

Aproksimasi linear klasik

Fungsi Titik a Linearisasi L(x) Taksiran Nilai sebenarnya Galat mutlak
sqrt(x) 4 2 + 0,25(x - 4) L(4,1) = 2,025 2,024846 0,000154
cbrt(x) 8 2 + (1/12)(x - 8) L(8,1) = 2,008333 2,008299 0,000034
ln(x) 1 x - 1 L(1,1) = 0,1 0,095310 0,004690
sin(x) 0 x L(0,1) = 0,1 0,099833 0,000167
e^x 0 1 + x L(0,1) = 1,1 1,105171 0,005171
1/x 2 0,5 - 0,25(x - 2) L(2,1) = 0,475 0,476190 0,001190

Seberapa besar galatnya?

Galat aproksimasi linear kira-kira sebesar |f''(a)| / 2 × (x - a)^2. Ada dua hal yang mengikuti dari sini:

  • Jarak berpengaruh, dan berpengaruh secara kuadrat. Untuk sqrt(x) di a = 4, galatnya 0,0000016 pada x = 4,01; 0,000154 pada x = 4,1; 0,0037 pada x = 4,5; dan 0,0139 pada x = 5. Sepuluh kali lebih jauh berarti kira-kira seratus kali lebih buruk.
  • Kecekungan menentukan arahnya. Jika grafik cekung ke bawah (sqrt(x), ln(x)), garis singgung berada di atas kurva dan taksirannya terlalu tinggi. Jika grafik cekung ke atas (e^x, 1/x untuk x positif), taksirannya terlalu rendah. Kalkulator memberi tahu Anda kasus mana yang berlaku.

Cara mengetik fungsi

Yang Anda inginkan Ketik Catatan
Bilangan desimal 0,25x, x^2,5, 4,1 Tanda desimalnya koma. Titik juga diterima (4.1), tetapi jangan pakai pemisah ribuan: 1.000 dan 1.234,5 ditolak, begitu juga 2.025, karena bisa dibaca dengan dua cara. Ketik 1000 dan 2,025.
Pangkat x^3, x^(1/2), e^(2x) Eksponen adalah satu unsur saja: e^2x berarti (e^2)x. Gunakan tanda kurung untuk e^(2x).
Perkalian 2x, 3(x + 1), 2sin(x), x*ln(x) Faktor yang ditulis berdampingan akan dikalikan.
Tanda minus di depan -x^2 Dibaca sebagai -(x^2). Ketik (-x)^2 untuk kuadrat dari -x.
Akar sqrt(x), cbrt(x) cbrt adalah akar pangkat tiga real, juga untuk x negatif. x^(1/3) tidak terdefinisi untuk x negatif: gunakan cbrt(x), dan cbrt(x)^2 sebagai pengganti x^(2/3).
Notasi ilmiah 1e-3, 2E5, 1,5e+3 Bilangan yang langsung diikuti e dan sebuah pangkat dibaca sebagai pangkat sepuluh: 1e-3 sama dengan 0,001. Untuk 2 kali konstanta e, tulis 2*e atau 2e^x.
Logaritma ln(x), log(x) ln adalah logaritma natural. log berbasis 10.
Trigonometri sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x), atan(x) Radian. Untuk 30 derajat, masukkan pi/6. Penulisan arcsin(x), arccos(x), dan arctan(x) juga diterima.
Lainnya exp(x), abs(x), pi, e sin^2(x) dibaca sebagai (sin(x))^2.

Titik yang tidak memiliki linearisasi

  • Di luar daerah asal. ln(x) di a = 0, sqrt(x) di a = -1, atau 1/x di a = 0 tidak memiliki nilai, sehingga tidak ada titik yang bisa disentuh garis singgung.
  • Tidak ada gradien. abs(x) memiliki sudut di 0, sedangkan sqrt(x) dan cbrt(x) memiliki garis singgung vertikal di 0. Fungsi memiliki nilai di sana tetapi tidak memiliki turunan berhingga, sehingga linearisasinya tidak ada. Kalkulator menyatakan hal itu dan menampilkan turunan yang coba dihitungnya.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Keduanya adalah dua nama untuk gagasan yang sama. Linearisasi adalah fungsi L(x) = f(a) + f’(a)(x - a), yaitu persamaan garis singgung di a. Aproksimasi linear adalah apa yang Anda lakukan dengannya: memakai L(x) sebagai taksiran f(x) untuk x di dekat a. Kalkulator ini memberikan keduanya, garisnya dan taksirannya.

Secara simbolik, dengan aturan yang sama seperti saat Anda mengerjakannya dengan tangan: aturan pangkat, hasil kali, hasil bagi, dan aturan rantai, serta turunan baku dari sqrt, exp, ln, log, fungsi trigonometri, invers trigonometri, dan abs. Turunan itu kemudian dihitung nilainya di a, sehingga f’(a) eksak sampai batas pembulatan floating point biasa dan bukan taksiran numerik. Turunan yang ditemukan ditampilkan dalam penyelesaian, dirapikan seperlunya tetapi tidak disederhanakan sepenuhnya, sehingga bisa terlihat berbeda dari jawaban Anda padahal nilainya sama.

Di sini log(x) adalah logaritma basis 10 dan ln(x) adalah logaritma natural, sesuai kebiasaan sebagian besar buku kalkulus dan kalkulator saku. Sebagian perangkat lunak membaca log sebagai logaritma natural, jadi periksa mana yang dimaksud soal Anda. Jika fungsi Anda memakai log, kalkulator mengingatkan Anda sebelum hasilnya.

Selalu radian. Aturan turunan dalam kalkulus, misalnya turunan sin(x) adalah cos(x), hanya berlaku dalam radian. Untuk bekerja di 30 derajat masukkan a = pi/6, dan untuk 45 derajat masukkan pi/4. Titik a maupun x menerima konstanta seperti pi/6, e, atau sqrt(2).

Tidak ada jarak yang pasti: semuanya bergantung pada seberapa tajam kurva melengkung di dekat a. Galat bertambah sebanding dengan kuadrat jarak dari a, sehingga memperpendek jarak menjadi setengahnya memangkas galat menjadi kira-kira seperempatnya. Tambahkan x Anda dan baca galat mutlak serta galat persentasenya. Jika galatnya terlalu besar untuk keperluan Anda, pilih titik a yang lebih dekat ke x.

Bisa jadi fungsinya tidak memiliki nilai berhingga di a, seperti ln(x) di 0 atau 1/x di 0, atau memiliki nilai tetapi tidak memiliki gradien berhingga, seperti abs(x) di 0 (sudut) atau sqrt(x) di 0 (garis singgung vertikal). Dalam kasus yang jarang, seperti x*abs(x) di 0, turunannya ada tetapi aturan turunan menghasilkan 0/0 di sana. Kalkulator lalu melaporkan tidak ada gradien dan tidak menebak. Memilih titik lain di dekatnya menyelesaikan semua kasus ini.

Nilai dihitung dengan presisi ganda, sekitar 15 angka penting, dan ditampilkan sampai 7 angka penting. Tanda sama dengan berarti bilangan ditampilkan seutuhnya, sedangkan tanda hampir sama dengan berarti bilangan itu dibulatkan. Jika x begitu dekat dengan a sehingga taksiran dan nilai sebenarnya sama pada hampir seluruh 15 angka, galat hanya ditampilkan sampai angka yang bermakna.

Tidak. Fungsi dan angka yang Anda ketik dikirim ke server kami untuk menghitung hasilnya, dan ditambahkan ke tautan halaman saat Anda berpindah langkah, sehingga sebuah perhitungan bisa disimpan sebagai bookmark atau dibagikan. Semuanya tidak disimpan ke akun atau profil mana pun.

Alat Terkait

Kalkulator Parlay

Gabungkan odds desimal, Amerika, atau pecahan, lalu hitung probabilitas tersirat harga, imbal hasil kotor, dan potensi profit satu parlay.

Konverter Tahun ke Bulan

Konversi durasi dalam tahun menjadi bulan untuk sewa, kontrak, dan perhitungan usia-dalam-bulan. Mendukung tahun desimal.

Kalkulator Zodiak

Masukkan tanggal lahir Anda untuk menemukan zodiak matahari Barat (lengkap dengan elemen dan glyph) dan shio Tionghoa beserta elemen terkaitnya.

Kalkulator Regresi Kuadratik

Cocokkan y = ax² + bx + c dengan data Anda. Hitung koefisien, R², RMSE, dan residu, serta prediksi opsional untuk nilai x pilihan Anda.

Kalkulator eDPI

Hitung DPI efektif dari DPI mouse dan sensitivitas dalam game. Bandingkan pengaturan dalam game yang sama dan pahami mengapa kombinasi DPI berbeda bisa terasa serupa.

Kalkulator Impedansi Speaker

Hitung beban nominal speaker pasif identik dalam rangkaian seri, paralel, atau seri-paralel seimbang, lalu bandingkan dengan batas minimum amplifier.

Alat ini tersedia dalam bahasa lain