Softonic

Kalkulator Limit

Langkah 1 / 3 Limit fungsi
Fungsi
Berikutnya

Limit fungsi f(x) saat x mendekati titik a menggambarkan nilai yang didekati f(x), baik f(a) ada maupun tidak. Kalkulator ini mencakup 13 fungsi klasik dari mata kuliah kalkulus pertama, mulai dari sin(x)/x dan (1 − cos x)/x² hingga (1 + 1/x)ˣ, 1/x, dan sin(1/x). Pilih salah satu, masukkan bilangan real, kelipatan π, atau ±∞, lalu Anda mendapatkan limit eksak (1/2, e, +∞, atau “tidak ada”), kedua limit satu sisi, dan tabel nilai di sekitarnya untuk memeriksa jawaban.

Cara menghitung limit

  1. 1

    Pilih fungsi

    Salah satu dari 13 fungsi klasik, seperti sin(x)/x, (eˣ − 1)/x, (1 + 1/x)ˣ, ln(x)/x, atau |x|/x.

  2. 2

    Masukkan titik limit a

    Bilangan real, kelipatan π seperti π/2, atau ∞ / -∞ untuk limit di tak hingga.

  3. 3

    Pilih arah

    Dua arah (keduanya), kiri (a⁻), atau kanan (a⁺).

  4. 4

    Baca hasilnya

    Anda mendapatkan limit eksak, +∞, −∞, atau "tidak ada", kedua limit satu sisi, dan nilai f(x) di dekat a.

Kapan limit berperilaku baik dan kapan tidak

Sebagian besar soal kalkulus tahun pertama diselesaikan dengan tiga teknik: substitusi langsung, penyederhanaan aljabar, dan aturan L’Hôpital. Kalkulator ini tidak mengolah ekspresi yang diketik: ia bekerja dengan sekumpulan tetap fungsi klasik yang perilakunya di dekat setiap titik sudah diketahui, sehingga memberikan nilai eksak seperti 1/2 dan e, bukan perkiraan yang dibulatkan.

Hasil klasik yang layak dihafal

Limit Nilai
lim x→0 sin(x)/x 1
lim x→0 (1 − cos x)/x 0
lim x→0 (1 − cos x)/x² 1/2
lim x→0 (eˣ − 1)/x 1
lim x→∞ (1 + 1/x)ˣ e
lim x→0⁺ x ln(x) 0
lim x→∞ ln(x)/x 0
lim x→∞ (polinomial)/eˣ 0

Kapan limit dua arah gagal

Tiga pola menyebabkan “tidak ada”:

  • Diskontinuitas lompat. f(x) = sign(x) di x = 0: kiri → -1, kanan → +1.
  • Asimtot vertikal dengan tanda berlawanan. f(x) = 1/x di x = 0: kiri → -∞, kanan → +∞.
  • Osilasi. f(x) = sin(1/x) di x = 0: nilai berosilasi antara -1 dan 1 secara sembarang dekat ke titik tersebut.

Limit satu arah bisa ada di tempat limit dua arah tidak ada. Kalkulator melaporkan setiap sisi secara terpisah sehingga Anda dapat melihat divergensinya.

Aturan L’Hôpital: gunakan dengan hati-hati

Ketika substitusi memberi 0/0 atau ∞/∞, menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah sering menyelesaikannya. Tetapi aturan ini mensyaratkan:

  • Kedua limit (pembilang dan penyebut) harus benar-benar 0 atau keduanya ∞.
  • Rasio turunan itu sendiri harus memiliki limit.
  • Fungsi-fungsi harus terdiferensialkan di dekat titik tersebut.

Salah menerapkan L’Hôpital pada bentuk yang bukan tak tentu memberi jawaban salah. Selalu pastikan bentuknya terlebih dahulu.

Numerik vs simbolik

Setiap hasil berasal dari perilaku fungsi yang dipilih yang sudah diketahui: di titik tempat fungsi kontinu, limitnya cukup f(a), dibulatkan ke paling banyak 10 angka penting (lebih sedikit jika galat pembulatan pada x membuat digit tambahan tidak andal), dan di titik-titik khusus (diskontinuitas yang dapat dihapuskan, asimtot, lompatan, osilasi, dan tepi domain) digunakan hasil eksak. Tabel nilai sampel di bawah hasil hanya untuk pemeriksaan: angka yang dihitung di dekat suatu titik bisa mengisyaratkan limit, tetapi tidak membuktikannya.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Nilai yang dituju f(x) ketika x datang hanya dari satu sisi a. Sisi kiri (x → a⁻) menggunakan nilai di bawah a; sisi kanan (x → a⁺) menggunakan nilai di atasnya. Limit dua arah ada hanya ketika keduanya cocok.

Ya. Masukkan ∞ atau -∞ sebagai titik (inf juga bisa). Misalnya, saat x → ∞, (1 + 1/x)ˣ mendekati e dan ln(x)/x mendekati 0.

Fungsi tidak menuju ke satu nilai berhingga tunggal saat x mendekati titik tersebut. Ini bisa terjadi karena nilai menuju tak hingga, karena kiri dan kanan berbeda, atau karena nilai berosilasi tanpa konvergen.

Tidak ada data pribadi yang perlu dimasukkan. Fungsi yang dipilih, titik, dan arah ditambahkan ke tautan halaman agar langkah berikutnya dapat menampilkan hasil, dan limit dihitung di server kami.

Alat Terkait

Kalkulator Parlay

Gabungkan odds desimal, Amerika, atau pecahan, lalu hitung probabilitas tersirat harga, imbal hasil kotor, dan potensi profit satu parlay.

Kalkulator Durasi Waktu

Hitung durasi antara dua jam dalam HH:MM, jam desimal, menit, dan detik.

Kalkulator Menit dari Sekarang

Hitung waktu jam yang tepat dalam durasi N menit dari sekarang. Mengatasi perpindahan hari, tampilan 12–24 jam, serta berbagai zona waktu.

Kalkulator Pelunasan KPR

Hitung perkiraan bulan pelunasan KPR dan bunga yang bisa dihemat dengan menambah pembayaran pokok bulanan.

Kalkulator Biaya Listrik

Hitung biaya operasional setiap peralatan berdasarkan daya (dalam watt), jam penggunaan per hari, dan tarif kWh Anda, dengan detail perhitungan harian, bulanan, dan tahunan.

Kalkulator Zodiak

Masukkan tanggal lahir Anda untuk menemukan zodiak matahari Barat (lengkap dengan elemen dan glyph) dan shio Tionghoa beserta elemen terkaitnya.

Alat ini tersedia dalam bahasa lain