Pemecah Persamaan Kubik
Persamaan kubik memiliki bentuk umum ax³ + bx² + cx + d = 0 dan selalu memiliki tiga akar pada bilangan kompleks. Masukkan keempat koefisiennya, lalu alat pemecah akan menghasilkan nilai-nilai tersebut menggunakan rumus Cardano: tiga akar riil jika diskriminan tidak positif; satu akar riil ditambah sepasang konjugat kompleks jika diskriminan positif; serta konfigurasi akar ganda jika diskriminan sama dengan nol.
Cara penyelesaian menemukan akar-akarnya
-
1
Masukkan koefisien
Empat angka: a, b, c, d. Koefisien utama a harus tidak nol; jika tidak, persamaan tersebut merupakan persamaan kuadrat, bukan persamaan kubik.
-
2
Kubik terdepresi
Alat pemecah menggeser persamaan sebesar -b/(3a) untuk menghilangkan suku kuadrat, sehingga menghasilkan bentuk `t³ + pt + q = 0`.
-
3
Pemeriksaan diskriminan
Persamaan Δ = (q/2)² + (p/3)³ menentukan lintasannya: jika Δ > 0, terdapat satu akar riil; jika Δ = 0, terdapat akar ganda (kembar); jika Δ < 0, terdapat tiga akar riil yang ditentukan menggunakan trigonometri.
-
4
Geser ke belakang
Setiap akar yang ditemukan dalam ruang t digeser sebesar -b/(3a) untuk memperoleh nilai x. Alat pemecah mengembalikan hasil tersebut dalam urutan menurun, bila berlaku.
Kasus-kasus diskriminan dan maknanya
Metode Cardano mengalir melalui salah satu dari tiga cabang, tergantung pada tanda diskriminan Δ = (q/2)² + (p/3)³. Geometri grafik kubik secara tepat mencerminkan hal ini.
Tabel kasus
| Diskriminan | Akar | Bentuk grafik |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 1 bilangan riil, 2 konjugat kompleks | Melintasi sumbu-x sekali |
| Δ = 0 | 3 bilangan riil, setidaknya dua di antaranya sama | Menyentuh sumbu-x pada akar ganda |
| Δ < 0 | Tiga akar riil yang berbeda | Melintasi sumbu-x sebanyak tiga kali |
Contoh penyelesaian
Untuk persamaan x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (dengan koefisien 1, −6, 11, −6):
- Geser sebesar −b/(3a) = 2 untuk memperoleh bentuk depresi: p = −1, q = 0.
- Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0, sehingga kita mengambil jalur tiga akar riil (trigonometris).
- Rumus trigonometris memberikan tiga akar riil yang berbeda, yaitu x = 1, 2, 3.
Pertimbangan Numerik
- Kesalahan titik apung dapat terjadi ketika ketiga akar berada sangat dekat satu sama lain (akar hampir triplikat). Akar yang ditampilkan dapat berbeda pada beberapa digit desimal terakhir dibandingkan dengan nilai sebenarnya.
- Nilai a yang sangat kecil menyebabkan nilai b/(3a) menjadi besar, sehingga memengaruhi hasil perhitungan secara signifikan dan menurunkan tingkat presisi. Jika nilai
|a|kurang dari sekitar 1e-12, sebaiknya diselesaikan sebagai persamaan kuadratik. - Koefisien bilangan bulat menghasilkan output yang paling akurat: akar rasional akan muncul pada nilai tepatnya, tanpa memperhitungkan pembulatan titik apung.
Persamaan Terkait
- Kuadratik:
ax² + bx + c = 0. Gunakan Alat Penyelesaian Persamaan Kuadratik, dalam bentuk tertutup dan lebih sederhana. - Kuartik:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. Metode Ferrari dapat diringkas menjadi persamaan kubik resolven; hal ini tidak dibahas di sini. - Kubik terdepresi: atur b = 0 untuk melewatkan proses pergeseran dan langsung memasukkan
x³ + px + q = 0.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Persamaan tersebut tidak lagi bersifat kubik; dalam kasus ini, alat pemecah persamaan menolak untuk melanjutkan proses, gunakan saja Alat Pemecah Persamaan Kuadrat untuk bx² + cx + d = 0.
Dalam kasus tersebut, alat pemecah memberikan satu akar riil saja. Dua akar lainnya merupakan pasangan konjugat kompleks yang diberikan oleh rumus Cardano dalam bentuk tertutup; hitunglah nilainya sebagai -x1/2 ± (√3/2) × i × modulus (nilai mutlak) jika Anda memerlukannya untuk jawaban simbolis.
Implementasi numerik metode Cardano dapat menghasilkan residu sebesar 1e-15 akibat pembulatan titik apung. Anggap saja nilai di bawah 1e-10 sebagai bilangan riil; pemecah ini telah menyaring residu tersebut untuk cabang Δ < 0.
Keempat koefisien hanya dikirim ke server untuk menghitung akar-akarnya dan tidak disimpan. Saat Anda menggunakan tampilan langkah demi langkah, koefisien tersebut juga muncul di tautan halaman.
Alat Terkait
Kalkulator Durasi Waktu
Hitung durasi antara dua jam dalam HH:MM, jam desimal, menit, dan detik.
Kalkulator Menit dari Sekarang
Hitung waktu jam yang tepat dalam durasi N menit dari sekarang. Mengatasi perpindahan hari, tampilan 12–24 jam, serta berbagai zona waktu.
Kalkulator Biaya Listrik
Hitung biaya operasional setiap peralatan berdasarkan daya (dalam watt), jam penggunaan per hari, dan tarif kWh Anda, dengan detail perhitungan harian, bulanan, dan tahunan.
Kalkulator Kecocokan Nama
Masukkan dua nama dan dapatkan skor kecocokan yang menghibur serta angka numerologi Pythagoras untuk tiap nama. Alat ini hanya membaca huruf Latin (A sampai Z), jadi alihaksarakan dulu nama beraksara lain.
Kalkulator Waktu dari Sekarang
Temukan tanggal dan waktu tepat yang jatuh sejumlah jam tertentu dari sekarang, ditampilkan dalam UTC.
Kalkulator Pembulatan
Bulatkan desimal secara presisi hingga 12 tempat desimal atau triliunan. Bandingkan pembulatan setengah genap, plafon, lantai, dan metode lain.
Alat ini tersedia dalam bahasa lain
- Phương pháp giải phương trình lập phương [VI]
- 三次方程式ソルバー [JA]
- Solução de Equação Cúbica [PT]
- حل المعادلات التكعيبية [AR]
- Resolutor de Ecuaciones Cúbicas [ES]
- Lösare för kubiska ekvationer [SV]
- เครื่องแก้สมการลูกบาศก์ [TH]
- Kubische Gleichungs-Löser [DE]
- Résolveur d'équations cubiques [FR]
- 삼차방정식 계산기 [KO]
- Oplosser voor kubische vergelijkingen [NL]
- Kalkulator równań sześciennych [PL]
- 三次方程求解器 [ZH]
- Cubic Equation Solver [EN]
- Risolutore di Equazioni Cubiche [IT]
- Решатель кубических уравнений [RU]
- Kübik Denklem Çözücü [TR]