Softonic

Kalkulator Polinomial Karakteristik

Langkah 1 / 3 Kalkulator Polinomial Karakteristik
Ukuran matriks
Elemen matriks

Gunakan bilangan bulat, desimal seperti 0,25, atau pecahan seperti -3/4. Isi setiap kotak.

Berikutnya: bentuk polinomial

Polinomial karakteristik dari matriks persegi A adalah det(A - λI), yaitu polinomial dalam λ yang akar-akarnya adalah nilai eigen dari A. Isi matriks 2 × 2, 3 × 3, atau 4 × 4, lalu kalkulator ini menampilkan polinomial dengan koefisien eksak, trace, determinan, dan, untuk matriks 2 × 2 dan 3 × 3, nilai eigen real.

Cara mencari polinomial karakteristik

  1. 1

    Pilih ukuran dan isi tabel

    Pilih 2 × 2, 3 × 3, atau 4 × 4, lalu ketik setiap elemen sebagai bilangan bulat, desimal seperti 0,25, atau pecahan seperti -3/4.

  2. 2

    Pilih bentuknya

    Pilih det(A - λI), bentuk yang lazim di buku teks, atau det(λI - A), bentuk monik yang koefisien pangkat tertingginya selalu 1. Untuk ukuran genap seperti 2 × 2 atau 4 × 4, keduanya menghasilkan polinomial yang sama.

  3. 3

    Baca polinomialnya

    Hasilnya menampilkan polinomial, tabel koefisiennya, serta trace dan determinan dari matriks Anda.

  4. 4

    Periksa nilai eigen

    Untuk matriks 2 × 2 dan 3 × 3, akar real ditampilkan beserta multiplisitasnya. Matriks 4 × 4 hanya mendapatkan polinomial eksaknya.

Apa yang ditunjukkan polinomial karakteristik

Untuk matriks A berukuran n × n, polinomial det(λI - A) berbentuk:

λⁿ - (trace A)·λⁿ⁻¹ + ... + (-1)ⁿ·det A

Jadi dua koefisiennya mudah dibaca: koefisien kedua adalah negatif dari trace (jumlah elemen diagonal), dan suku konstan adalah determinan, hingga tanda (-1)ⁿ. Akar-akarnya adalah nilai eigen dari A; jumlahnya sama dengan trace dan hasil kalinya sama dengan determinan. Menurut teorema Cayley-Hamilton, A juga memenuhi polinomialnya sendiri: jika matriks A disubstitusikan ke λ, hasilnya adalah matriks nol.

Cara koefisien dihitung

Kalkulator ini memakai rekurensi Faddeev-LeVerrier. Dimulai dari matriks identitas, ia membangun barisan matriks M₁, M₂, ... dengan Mₖ = A·Mₖ₋₁ + cₙ₋ₖ₊₁·I dan mengambil setiap koefisien sebagai cₙ₋ₖ = -trace(A·Mₖ) / k. Setiap elemen lebih dulu diubah menjadi pecahan eksak, sehingga koefisien muncul sebagai bilangan bulat atau pecahan eksak, bukan desimal yang dibulatkan.

Contoh perhitungan (3 × 3)

Untuk A = [[2, 0, 0], [0, 3, 4], [0, 4, 9]], trace-nya adalah 2 + 3 + 9 = 14 dan determinannya 2·(3·9 - 4·4) = 22. Polinomialnya:

λ³ - 14λ² + 35λ - 22

Polinomial ini dapat difaktorkan menjadi (λ - 1)(λ - 2)(λ - 11), sehingga nilai eigennya adalah 1, 2, dan 11. Dengan bentuk det(A - λI), ukuran ganjil membalik semua tanda: -λ³ + 14λ² - 35λ + 22.

Contoh (2 × 2)

Matriks A Polinomial karakteristik Nilai eigen real
[[2, 1], [1, 2]] λ² - 4λ + 3 1 dan 3
[[1, 2], [3, 4]] λ² - 5λ - 2 5,372281 dan -0,372281
[[2, 1], [0, 2]] λ² - 4λ + 4 2 (multiplisitas 2)
[[0, -1], [1, 0]] λ² + 1 tidak ada (pasangan kompleks)

Hal yang tidak dilakukan kalkulator ini

  • Hanya mendukung ukuran 2 × 2, 3 × 3, dan 4 × 4.
  • Elemen boleh memiliki hingga sembilan digit, dan desimal hingga enam angka di belakang koma. Notasi ilmiah tidak diterima.
  • Nilai eigen diberikan sebagai desimal yang dibulatkan ke enam angka di belakang koma, hanya untuk matriks 2 × 2 dan 3 × 3, dan hanya yang real. Nilai eigen kompleks dan vektor eigen tidak ditampilkan.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Keduanya berbeda faktor (-1)ⁿ untuk matriks n × n. Pada matriks 2 × 2 dan 4 × 4, keduanya identik. Pada matriks 3 × 3, tandanya berlawanan, sedangkan akar-akarnya, yaitu nilai eigen, tetap sama. Banyak buku teks memakai det(A - λI); perangkat lunak dan sebagian mata kuliah memakai bentuk monik det(λI - A).

Karena perhitungannya eksak. Jika matriks Anda berisi pecahan atau desimal, koefisiennya umumnya berupa pecahan, dan menampilkan 5/6 lebih setia daripada 0,8333. Matriks berisi bilangan bulat selalu menghasilkan koefisien bilangan bulat.

Halaman ini memberikan polinomial karakteristik eksak dari matriks 4 × 4, tetapi tidak menyelesaikan persamaan derajat empat. Faktorkan polinomial secara manual atau dengan pencari akar untuk mendapatkan nilai eigen. Untuk matriks 2 × 2 atau 3 × 3, nilai eigen real langsung ditampilkan.

Nilai itu ditampilkan sekali beserta multiplisitasnya, misalnya λ = 2 (multiplisitas 2) untuk matriks [[2, 1], [0, 2]], yang polinomialnya adalah (λ - 2)².

Tidak. Matriks yang similar, seperti A dan P⁻¹AP, memiliki polinomial karakteristik yang sama, itulah sebabnya polinomial ini menjadi ciri khas yang baik bagi suatu pemetaan linear. Namun, dua matriks dengan polinomial yang sama belum tentu similar.

Tidak. Elemen yang Anda ketik dikirim ke server kami untuk menghitung hasilnya, dan ditambahkan ke tautan halaman saat Anda berpindah antarlangkah sehingga perhitungan bisa dimarkahi atau dibagikan. Data itu tidak disimpan ke akun atau profil mana pun.

Alat Terkait

Kalkulator Parlay

Gabungkan odds desimal, Amerika, atau pecahan, lalu hitung probabilitas tersirat harga, imbal hasil kotor, dan potensi profit satu parlay.

Kalkulator Durasi Waktu

Hitung durasi antara dua jam dalam HH:MM, jam desimal, menit, dan detik.

Kalkulator Pembulatan

Bulatkan desimal secara presisi hingga 12 tempat desimal atau triliunan. Bandingkan pembulatan setengah genap, plafon, lantai, dan metode lain.

Kalkulator Zodiak

Masukkan tanggal lahir Anda untuk menemukan zodiak matahari Barat (lengkap dengan elemen dan glyph) dan shio Tionghoa beserta elemen terkaitnya.

Kalkulator Pelunasan KPR

Hitung perkiraan bulan pelunasan KPR dan bunga yang bisa dihemat dengan menambah pembayaran pokok bulanan.

Kalkulator Menit dari Sekarang

Hitung waktu jam yang tepat dalam durasi N menit dari sekarang. Mengatasi perpindahan hari, tampilan 12–24 jam, serta berbagai zona waktu.

Alat ini tersedia dalam bahasa lain