Kalkulator Integral Lipat Tiga
Integral lipat tiga menghitung volume, massa, dan fluks atas wilayah tiga dimensi — jenis soal di mana wilayah Kartesius seperti sebuah kotak punya batas langsung tetapi benda padat antara dua paraboloid membutuhkan keputusan urutan integrasi yang cermat. Kalkulator ini mengevaluasi ∭f(x,y,z) dV atas batas yang Anda tentukan, mendukung koordinat Kartesius, silinder, dan bola, serta menampilkan setiap langkah antiturunan.
Cara menghitung integral lipat tiga
-
1
Masukkan f(x,y,z)
Integran. Notasi standar: x*y*z, x^2+y^2, sin(x)*cos(y).
-
2
Pilih sistem koordinat
Kartesius (dx dy dz), silinder (r dr dθ dz), atau bola (ρ² sin(φ) dρ dφ dθ).
-
3
Atur batasnya
Untuk masing-masing dari tiga variabel — konstanta atau fungsi dari yang lain.
-
4
Pilih urutan integrasi
dzdydx, dxdydz, dll. Pilihan dapat menyederhanakan matematika secara dramatis.
-
5
Lihat evaluasi langkah demi langkah
Integral terdalam dulu, lalu tengah, lalu terluar, dengan antiturunan di tiap tahap.
Untuk apa ketiga sistem koordinat
| Sistem | Elemen volume | Terbaik untuk |
|---|---|---|
| Kartesius | dx dy dz | Kotak, prisma, wilayah non-simetris umum |
| Silinder | r dr dθ dz | Silinder, kerucut, permukaan revolusi |
| Bola | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | Bola, sektor bola, soal gravitasi |
Memakai sistem yang salah mengubah integral sepele menjadi mimpi buruk. Bola jari-jari 1 diintegrasikan dalam Kartesius punya batas √(1 − x² − y²) yang berantakan; dalam bola, itu ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ, bersih dan terpisahkan.
Soal umum
- Massa: ∭ρ(x,y,z) dV, di mana ρ adalah massa jenis.
- Pusat massa: ∭x ρ dV / massa total, analog untuk y dan z.
- Momen inersia: ∭r² ρ dV terhadap sumbu yang dipilih.
- Volume: ∭1 dV — integrannya adalah 1, menyederhanakan menjadi menghitung volume wilayah.
Mengubah urutan integrasi
Untuk wilayah di mana batas terdalam tidak dapat dinyatakan dengan baik sebagai fungsi variabel terluar, menukar urutan sering membantu. Sketsakan wilayahnya, proyeksikan ke bidang dalam-luar yang Anda inginkan, dan turunkan ulang batasnya.
Contoh terselesaikan: volume bola
Dalam koordinat bola, bola satuan {x²+y²+z² ≤ 1}:
V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
= ∫₀²π (2/3) dθ
= 4π/3
V = (4/3)πr³ yang terkenal muncul dalam tiga langkah bersih — dalam Kartesius integral yang sama menghabiskan beberapa halaman.
Cadangan numerik
Beberapa integral tidak punya antiturunan bentuk tertutup. Saat integrasi simbolik gagal, kalkulator beralih ke kuadratur numerik, mengembalikan nilai perkiraan dengan estimasi error.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Paling sering batasnya salah. Batas integral lipat tiga dapat bergantung pada variabel terdalam, dan salah urutan menghasilkan integral yang berbeda secara matematis. Sketsakan wilayahnya dulu, lalu turunkan batas dengan cermat.
Kalkulator beralih ke metode numerik (kuadratur adaptif). Anda mendapat jawaban numerik dengan batas error ketimbang ekspresi simbolik.
Bola ketika wilayah punya simetri 3D penuh terhadap sebuah titik (bola, kerucut dari sebuah titik). Silinder ketika ada simetri aksial (silinder, permukaan revolusi mengelilingi sebuah sumbu). Kartesius ketika tidak ada keduanya.
Tidak. Semua komputasi berjalan di browser Anda.