Softonic

Kalkulator Integral Lipat Tiga

Langkah 1 / 4 Integral lipat tiga

Integral lipat tiga mengukur besaran yang tersebar dalam wilayah tiga dimensi: volume, massa dari fungsi densitas, atau nilai terkumpul ∭f(x,y,z) dV. Kalkulator ini memberi pendekatan numerik berbasis aturan titik tengah di browser untuk batas persegi panjang pada x, y, dan z, sehingga cocok untuk pemeriksaan cepat, contoh kuliah, dan wilayah berbentuk kotak.

Cara memperkirakan integral lipat tiga

  1. 1

    Masukkan f(x,y,z)

    Gunakan sintaks kalkulator seperti x*y*z, x^2+y^2+z^2, atau sin(x)*cos(y).

  2. 2

    Tetapkan batas numerik

    Isi nilai minimum dan maksimum untuk x, y, dan z. Alat ini mengevaluasi kotak persegi panjang di ruang xyz.

  3. 3

    Pilih langkah per sumbu

    Penggeser menetapkan n pembagian untuk setiap sumbu, jadi estimasi memakai n³ sampel titik tengah.

  4. 4

    Hitung estimasi titik tengah

    Setiap kotak kecil disampel di pusatnya lalu dikalikan dengan elemen volume ΔxΔyΔz.

  5. 5

    Perhalus dan cek kewajaran

    Naikkan jumlah langkah dan bandingkan dengan kasus sederhana atau hasil simbolik jika tersedia.

Apa yang sebenarnya dihitung kalkulator

Masukan Cara digunakan Catatan praktis
f(x,y,z) Nilai yang disampel di setiap titik tengah Fungsi halus biasanya konvergen lebih teratur daripada puncak tajam atau diskontinuitas
x min/max, y min/max, z min/max Batas persegi panjang numerik Batas boleh negatif; menukar minimum dan maksimum mengubah tanda pada sumbu itu
Langkah per sumbu Jumlah irisan pada tiap dimensi Beban kerja tumbuh sebagai n³, sehingga 60 langkah berarti 216.000 evaluasi fungsi

Ini kalkulator numerik, bukan integrator simbolik. Alat ini tidak mencari antiturunan dan tidak menurunkan batas baru untuk koordinat bola atau silinder. Jika wilayah Anda berupa bola, kerucut, atau benda lengkung lain, ubah dulu masalahnya menjadi batas dan integran yang dapat disampel oleh metode titik tengah persegi panjang ini, atau gunakan alur simbolik untuk integral lipat tiga.

Penggunaan umum

  • Memeriksa volume: gunakan f(x,y,z) = 1 pada kotak untuk memastikan volumenya.
  • Memperkirakan massa: masukkan fungsi densitas ρ(x,y,z) dan integralkan pada batas numerik.
  • Nilai rata-rata: bagi estimasi integral dengan volume kotak.
  • Verifikasi numerik: bandingkan jawaban hasil turunan manual atau buku teks dengan estimasi komputasi cepat.

Sistem koordinat dan elemen volume

Sistem koordinat Elemen volume umum Yang perlu diingat di sini
Kartesius dx dy dz Langsung sesuai dengan batas x/y/z pada kalkulator ini
Silinder r dr dθ dz Berguna untuk wilayah bersimetri sumbu, tetapi faktor r harus masuk dalam integran yang sudah ditransformasi
Bola ρ² sin(φ) dρ dφ dθ Berguna untuk bola dan kulit bola, tetapi memerlukan batas transformasi dan faktor Jacobian

Antarmuka hanya menerima rentang numerik x, y, dan z. Ide sistem koordinat tetap berguna untuk menyusun matematika, tetapi ekspresi akhir yang dimasukkan harus sesuai dengan variabel dan batas yang disampel kalkulator.

Uji contoh: kubus satuan

Untuk kubus satuan dan f(x,y,z) = x*y*z:

∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0,125

Ini masukan uji yang baik karena batasnya persegi panjang dan jawaban yang diharapkan sederhana. Jika hasil numerik jauh dari 0,125, naikkan jumlah langkah atau periksa sintaks ekspresi.

Tips akurasi

Aturan titik tengah biasanya membaik saat jumlah langkah ditingkatkan, tetapi tetap merupakan pendekatan. Fungsi halus pada kotak persegi panjang memberi hasil terbaik. Fungsi diskontinu, singularitas, puncak yang sangat sempit, atau wilayah yang sebenarnya tidak berbentuk kotak dapat menghasilkan nilai menyesatkan jika masalah tidak dirumuskan ulang dengan hati-hati.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Kalkulator memakai aturan titik tengah numerik. Lebih banyak langkah berarti lebih banyak titik sampel, sehingga estimasi biasanya mendekati nilai yang stabil untuk integran halus.

Tidak. Halaman ini memperkirakan integral tentu pada batas numerik. Gunakan kalkulator integral simbolik jika membutuhkan antiturunan atau langkah aljabar.

Tidak langsung. Masukannya berupa rentang persegi panjang untuk x, y, dan z. Untuk penyusunan silinder atau bola, sertakan faktor Jacobian yang benar dan batas transformasi dalam metode yang mendukung variabel tersebut.

Tidak. Semua perhitungan berjalan di browser Anda.

Alat Terkait

Kalkulator Pembagian Bersusun

Bagi bilangan bulat dengan langkah pembagian bersusun. Dapatkan hasil bagi, sisa, penjabaran desimal, dan tabel angka demi angka untuk memeriksa tugas sekolah.

Kalkulator Persentase Lemak Tubuh

Perkirakan lemak tubuh dari ukuran leher, pinggang, pinggul dan tinggi badan. Memakai rumus pita ukur klasik US Navy untuk memantau tren, bukan diagnosis.

Kalkulator usia

Hitung usia tepat dalam tahun, bulan, dan hari dari tanggal lahir, plus total hari, jam, dan hitung mundur ulang tahun berikutnya.

Kalkulator Masa Pakai Baterai

Perkirakan berapa lama baterai akan bertahan berdasarkan kapasitasnya dalam mAh, arus beban dalam mA, dan faktor efisiensi pengosongan. Dapatkan durasi dalam jam, hari, dan menit.

Kalkulator Durasi Waktu

Hitung durasi antara dua jam dalam HH:MM, jam desimal, menit, dan detik.

Kalkulator BMI

Hitung indeks massa tubuh dari tinggi dan berat badan. Menampilkan kategori WHO, rentang berat sehat, dan batasan BMI.