Kalkulator RREF

Arti bentuk eselon baris tereduksi

Matriks berada dalam bentuk eselon baris tereduksi jika setiap baris tak nol memiliki satu utama, posisi satu utama pada baris berikutnya selalu lebih ke kanan, semua entri lain pada kolom pivot bernilai nol, dan semua baris nol berada di bagian bawah. Satu utama tersebut adalah pivot.

RREF menunjukkan struktur numerik matriks secara konsisten. Kolom pivot menunjukkan letak pivot, sedangkan kolom sisanya adalah kolom bebas. Rank sama dengan jumlah pivot. Untuk matriks dengan n kolom, nullitas yang ditampilkan adalah n dikurangi rank, sehingga juga sama dengan jumlah kolom bebas.

Penomoran kolom dimulai dari 1. Jika hasil menyebut kolom pivot 1 dan 3, artinya kolom pertama dan ketiga dari matriks masukan.

Operasi baris yang ditampilkan

Kalkulator memakai tiga operasi baris elementer standar:

• Menukar dua baris.
• Mengalikan sebuah baris dengan bilangan tak nol.
• Mengganti sebuah baris dengan baris itu sendiri dikurangi kelipatan baris lain.

Untuk setiap kolom pivot, kalkulator memilih baris tersisa dengan calon pivot yang nilai mutlaknya paling besar. Pivot parsial ini membantu menghindari pembagian dengan nilai yang lebih kecil ketika ada pilihan yang lebih baik. Baris terpilih dipindahkan, pivotnya dibuat 1, lalu entri di atas dan bawah pivot dibuat nol. Setiap hasil antara ditampilkan dalam daftar operasi.

Urutan operasi baris yang sah dapat berbeda, tetapi RREF akhir tetap sama, selain perbedaan sangat kecil akibat aritmetika presisi terbatas.

Contoh numerik

Untuk matriks bawaan

bentuk eselon baris tereduksinya adalah

Ada dua pivot, yaitu pada kolom 1 dan 3, sehingga rank bernilai 2. Kolom 2 bebas dan nullitasnya 3 - 2 = 1. Kalkulator menampilkan urutan operasi yang dipakai, bukan hanya matriks akhirnya.

Rank, nullitas, kolom pivot, dan kolom bebas

Rank menghitung posisi pivot pada matriks tereduksi. Nilai ini adalah dimensi ruang kolom matriks dan juga jumlah baris tak nol dalam RREF.

Nullitas adalah dimensi ruang nol matriks. Untuk matriks m × n dengan rank r, berlaku hubungan:

rank + nullitas = jumlah kolom, atau r + nullitas = n.

Kalkulator menentukan nilai ini langsung dari reduksi numerik. Matriks tanpa kolom bebas memiliki nullitas nol. Matriks lebar dapat memiliki beberapa kolom bebas, sedangkan matriks dengan baris dependen atau baris nol dapat memiliki rank lebih kecil daripada jumlah barisnya.

Aturan masukan dan toleransi numerik

Masukkan satu baris matriks per baris teks. Pada halaman Indonesia, pisahkan nilai dengan spasi, titik koma, atau garis vertikal karena koma dipakai sebagai tanda desimal. Baris kosong diabaikan, tetapi semua baris tak kosong harus memiliki jumlah entri yang sama. Nilai boleh berupa bilangan bulat, desimal, atau notasi ilmiah seperti 2,5e-3. Setiap nilai harus hingga dan berada di antara -1.000.000 dan 1.000.000.

Kalkulator memakai aritmetika titik mengambang. Selama reduksi, nilai dengan besar mutlak di bawah 1e-10 dianggap nol. Toleransi ini mencegah sisa pembulatan yang sangat kecil terlihat sebagai pivot palsu, tetapi hasil matriks yang hampir singular sebaiknya diperiksa dengan tingkat presisi yang diperlukan untuk kuliah atau penerapan Anda.

Yang tidak dilakukan kalkulator ini

Ini adalah pereduksi matriks numerik, bukan sistem aljabar simbolik. Kalkulator tidak menerima variabel, pecahan yang ditulis sebagai ekspresi, akar, atau rumus. Alat ini tidak menghitung determinan atau invers, serta tidak menghasilkan solusi parametrik, menerjemahkan baris menjadi persamaan, atau menentukan konsistensi sistem yang dijelaskan secara terpisah.

Anda dapat memasukkan matriks diperbesar numerik untuk melihat reduksi barisnya, tetapi setiap kolom tetap diperlakukan sebagai bagian dari satu matriks. Alat ini tidak mengenali batas augmentasi dan tidak menafsirkan kolom terakhir sebagai konstanta. Gunakan RREF dan informasi kolom yang ditampilkan, lalu terapkan kaidah yang dibutuhkan dalam soal aljabar linear Anda.