Kalkulator Melengkapkan Kuadrat
Untuk persamaan kuadratik ax² + bx + c, proses melengkapkan kuadrat mengubahnya menjadi bentuk a(x – h)² + k, sehingga titik puncak parabola (h, k) dapat ditentukan secara langsung. Masukkan nilai a, b, dan c; kalkulator akan menampilkan bentuk titik puncak a(x − h)² + k beserta koordinat titik puncaknya (h, k). Metode ini sangat berguna dalam kalkulus, fisika (gerak proyektil), permasalahan optimasi, maupun tugas rumah aljabar.
Bagaimana cara melengkapkan kuadrat
-
1
Masukkan koefisien a, b, dan c
Persamaan kuadratik ax² + bx + c. Masukkan angka desimal; pecahan seperti 1/2 ditulis sebagai 0,5.
-
2
Pisahkan suku a dari suku x² dan suku x.
(a(x² + (b/a)x) + c) digunakan untuk memisahkan konstanta dari suku-suku yang bergantung pada x.
-
3
Tambah dan kurangi (b/(2a))²
Menciptakan suatu persegi sempurna: a(x² + (b/a)x + (b/(2a))²) − a(b/(2a))² + c.
-
4
Ringkas ke bentuk titik puncak
a (x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) = a (x − h)² + k, di mana h = −b/(2a) dan k = c − b²/(4a).
Contoh penyelesaian: 2x² + 8x + 5
Langkah 1, faktorkan a = 2 dari suku-suku x: 2(x² + 4x) + 5
Langkah 2, setengah dari 4 adalah 2; hasil kuadratnya adalah 4. Lakukan penjumlahan dan pengurangan terhadap angka 4 di dalamnya: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5
Langkah 3, bagi menjadi kuadrat sempurna dan sisa: 2((x + 2)² − 4) + 5
Langkah 4, sebarkan 2: 2(x + 2)² − 8 + 5
Langkah 5, menyederhanakan konstanta: 2(x + 2)² − 3
Bentuk titik puncak: a = 2, h = −2, k = −3 → titik puncak berada di (−2, −3).
Rumus umum
Untuk ax² + bx + c:
- h = −b / (2a)
- k = c − b² / (4a)
- Bentuk titik puncak: a(x − h)² + k
Mengapa melengkapkan kuadrat?
- Temukan titik puncak secara instan untuk menggambar parabola.
- Selesaikan persamaan kuadrat tanpa menggunakan rumus kuadrat, sangat berguna untuk akar irasional.
- Turunkan rumus kuadrat itu sendiri: dengan melengkapi kuadrat pada persamaan ax² + bx + c = 0, diperoleh x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Kalkulus: menentukan nilai ekstrem fungsi kuadratik tanpa menggunakan turunan.
- Gerak proyektil: tinggi maksimum bola yang dilempar ke atas merupakan nilai k dalam bentuk titik puncak dari persamaan tingginya.
- Lingkaran dan irisan kerucut: Dengan melengkapi kuadrat pada suku x dan suku y, persamaan x² + y² + Dx + Ey + F = 0 berubah menjadi (x − h)² + (y − k)² = r², sehingga pusat dan jari-jari menjadi jelas.
Geometri parabola dari bentuk titik puncak
- Titik puncak: (h, k).
- Sumbu simetri: x = h.
- Terbuka ke atas jika a > 0, terbuka ke bawah jika a < 0.
- Nilai maksimum atau minimum dari fungsi: k.
- Lebar: lebih sempit untuk |a| > 1, lebih lebar untuk |a| < 1.
- Akar (jika bernilai nyata): x = h ± √(−k/a). Nilai tersebut hanya bernilai nyata jika k/a ≤ 0.
Kesalahan Umum
- Lupa mendistribusikan a setelah melengkapkan kuadrat di dalam tanda kurung; suku koreksinya akan berubah.
- Kesalahan tanda pada b/(2a): h = −b/(2a), bukan +b/(2a).
- Tidak membagi dua koefisien tengah sebelum mengkuadratkan. Frasa yang umum digunakan adalah: “Setengah dari b per a, lalu dikuadratkan”.
- Membiarkan a ≠ 1 tersembunyi: selalu faktorkan terlebih dahulu untuk mempermudah perhitungan.
Kasus khusus: a = 1
Ketika a = 1, prosesnya menjadi lebih sederhana:
- x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
- h = −b/2, k = c − b²/4
Nilai k negatif menunjukkan adanya akar riil
Jika nilai k berlawanan tanda dengan a, maka parabola akan melintasi sumbu-x. Selesaikan persamaan a(x − h)² = −k untuk menentukan nilai-nilai tersebut.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Dengan melengkapkan kuadrat secara langsung, titik puncak (bentuk grafik) akan teridentifikasi, sedangkan rumus kuadrat memberikan nilai-nilai akarnya. Kedua metode memiliki kegunaan masing-masing: menggunakan akar untuk mengetahui titik di mana y = 0; menggunakan bentuk puncak untuk menentukan bentuk grafik, nilai maksimum atau minimum, serta sumbu simetri.
Masukkan koefisien sebagai angka desimal; pecahan seperti 1/2 atau 3/4 diketik sebagai 0,5 atau 0,75. Hasil dihitung dengan presisi titik mengambang standar seperti kalkulator biasa.
Versi ini menangani fungsi kuadratik dengan satu variabel. Untuk bidang konik (lingkaran, elips) dalam variabel x dan y, lakukan penyelesaian kuadrat secara terpisah untuk masing-masing variabel; prosesnya identik dan perlu diulangi dua kali.
Bentuk titik puncak tetap berfungsi; parabola hanya tidak memotong sumbu-x, sehingga tidak ada akar riil. Kalkulator tetap menampilkan bentuk titik puncak dan koordinat titik puncaknya.
Alat Terkait
Kalkulator Pembagian Bersusun
Bagi bilangan bulat dengan langkah pembagian bersusun. Dapatkan hasil bagi, sisa, penjabaran desimal, dan tabel angka demi angka untuk memeriksa tugas sekolah.
Kalkulator Ukuran Gorden
Hitung lebar gorden, tingkat kerutan, jumlah panel, dan panjang jadi dari ukuran rel, batang, atau bukaan jendela serta cek kemasan gorden siap pakai.
Kalkulator Durasi Waktu
Hitung durasi antara dua jam dalam HH:MM, jam desimal, menit, dan detik.
Kalkulator usia
Hitung usia tepat dalam tahun, bulan, dan hari dari tanggal lahir, plus total hari, jam, dan hitung mundur ulang tahun berikutnya.
Kalkulator susunan bilah dinding
Rencanakan jarak bersih, tanda sumbu, dan papan bilah vertikal interior dari lebar dinding, lebar bilah, kerf gergaji, dan cadangan.
Kalkulator Kipas Loteng
Bandingkan referensi aliran rendah PNNL dan kipas loteng bertenaga HVI, NFA udara masuk soffit, serta angka ventilasi pasif 1:150 dan 1:300.