Softonic

Kalkulator Kombinasi

Langkah 1 / 3
Berikutnya

C(n, k), dibaca “n dipilih k”, menghitung jumlah cara memilih k elemen dari n ketika urutan tidak penting. Pilih 3 topping dari 10 → C(10, 3) = 120; susun tangan lima kartu dari 52 kartu → C(52, 5) = 2.598.960. Kalkulator ini menerima n hingga 170, menghasilkan angka bulat yang tepat dengan aritmetika presisi arbitrer (tanpa pembulatan dari notasi ilmiah), serta menampilkan jumlah permutasi P(n, k) yang sesuai.

Bagaimana kombinasi dihitung

  1. 1

    Masukkan n dan k

    Kedua bilangan bulat non-negatif dengan k ≤ n, di mana n merupakan ukuran populasi dan k merupakan ukuran seleksi. Nilai di atas 170 dibatasi.

  2. 2

    Formula telah diterapkan.

    C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!). Alat ini juga menghitung P(n, k), jumlah pemilihan yang berurutan.

  3. 3

    Hasil keluaran bilangan bulat yang tepat

    Perhitungan menggunakan aritmetika bilangan bulat yang tepat, sehingga hasil tidak pernah kehilangan digit, bahkan untuk nilai sebesar C(170, 85).

  4. 4

    Kedua hasil ditampilkan

    Kombinasi C(n, k) dan permutasi P(n, k) ditampilkan bersamaan; P(n, k) = C(n, k) × k!.

Rumusnya

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Ekuivalen: C(n, k) = (n × (n − 1) × … × (n − k + 1)) / k!

Contoh penyelesaian

  • C(10, 3) = 120: jumlah cara memilih 3 topping dari 10 opsi.
  • C(52, 5) = 2.598.960: jumlah tangan poker lima kartu dari satu deck standar.
  • C(49, 6) = 13.983.816: kombinasi hasil undian utama Lotere Nasional Inggris.
  • C(70, 5) × 25 = 302.575.350: kombinasi jackpot Mega Millions (5 bola utama dari 70 + 1 bola Mega dari 25).
  • C(100, 50) ≈ 1,01 × 10²⁹: himpunan bagian dari separuh set beranggota 100 elemen.

Kombinasi versus Permutasi

  • Kombinasi C(n, k): urutan tidak penting; pemilihan {A, B, C} sama dengan pemilihan {C, B, A}.
  • Permutasi P(n, k): urutan sangat penting; himpunan {A, B, C} berbeda dengan himpunan {C, B, A}.
  • Hubungan: P(n, k) = C(n, k) × k!

Hasil undian lotere merupakan kombinasi (urutan bola tidak penting); sedangkan posisi finis lomba merupakan permutasi (posisi pertama, kedua, dan ketiga sangat penting).

Segitiga Pascal

C(n, k) membentuk segitiga Pascal ketika disusun sebagai berikut:

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

Setiap entri C(n, k) merupakan jumlah dari dua entri di atasnya: C(n–1, k–1) + C(n–1, k). Sifat simetrisnya adalah C(n, k) = C(n, n–k).

Sifat-sifat

  • C(n, 0) = C(n, n) = 1: hanya ada satu cara untuk memilih tidak ada atau semuanya.
  • C(n, 1) = n: jumlah cara memilih satu item.
  • Jumlah baris ke-n: Σ C(n, k) dari k = 0 hingga n = 2ⁿ; merupakan jumlah seluruh himpunan bagian dari himpunan beranggota n elemen.
  • Tongkat hoki: Σ C(i, k) dari i = k hingga n = C(n+1, k+1).

Aplikasi dalam dunia nyata

  • Peluang lotere: 1/C(n, k) untuk angka yang ditarik secara tepat.
  • Desain pengambilan sampel: memilih kelompok uji dari populasi.
  • Genetika: menghitung kemungkinan genotipe keturunan.
  • Penjadwalan: turnamen round-robin memerlukan C(tim, 2) pertandingan.
  • Distribusi binomial: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^{n−k}.
  • Pemilihan komite: berbagai cara untuk membentuk komite beranggotakan 5 orang dari 20 anggota = C(20, 5) = 15.504.

Angka besar: tetap tepat

Hasilnya bertumbuh cepat: C(100, 50) sudah memiliki 30 digit. Kalkulator membatasi n pada 170, yang mencakup semua penggunaan praktis seperti lotere, komite, dan pengambilan sampel, dan setiap jawaban tetap tepat karena perhitungannya memakai aritmetika bilangan bulat presisi arbitrer alih-alih bilangan mengambang.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Memilih k item untuk dimasukkan secara matematis setara dengan memilih n–k item untuk dikecualikan; jumlah susunan yang mungkin sama, yaitu C(10, 3) = C(10, 7) = 120.

Secara konvensi, nilai C(n, k) = 0 ketika k > n; Anda tidak dapat memilih lebih banyak item daripada yang tersedia. Kalkulator akan menandai kondisi ini dan mengembalikan nilai 0.

Kalkulator menerima n hingga 170 dan selalu mengembalikan bilangan bulat yang tepat. Pada permasalahan lotere standar dan permasalahan probabilitas, nilai n hampir selalu kurang dari 100.

Tidak. “Kombinasi dengan pengulangan” (juga disebut multiset) menggunakan rumus yang berbeda, C(n+k−1, k), yang tidak dihitung oleh alat ini. Perlakukan kasus itu sebagai masalah tersendiri.

Alat Terkait

Kalkulator Pembagian Bersusun

Bagi bilangan bulat dengan langkah pembagian bersusun. Dapatkan hasil bagi, sisa, penjabaran desimal, dan tabel angka demi angka untuk memeriksa tugas sekolah.

Kalkulator Ukuran Gorden

Hitung lebar gorden, tingkat kerutan, jumlah panel, dan panjang jadi dari ukuran rel, batang, atau bukaan jendela serta cek kemasan gorden siap pakai.

Kalkulator Durasi Waktu

Hitung durasi antara dua jam dalam HH:MM, jam desimal, menit, dan detik.

Kalkulator usia

Hitung usia tepat dalam tahun, bulan, dan hari dari tanggal lahir, plus total hari, jam, dan hitung mundur ulang tahun berikutnya.

Kalkulator susunan bilah dinding

Rencanakan jarak bersih, tanda sumbu, dan papan bilah vertikal interior dari lebar dinding, lebar bilah, kerf gergaji, dan cadangan.

Kalkulator Kipas Loteng

Bandingkan referensi aliran rendah PNNL dan kipas loteng bertenaga HVI, NFA udara masuk soffit, serta angka ventilasi pasif 1:150 dan 1:300.